SEGUNDO TEOREMA DE PAPPUS-GULDINUS

Teorema 2: El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del ´area al momento de generar el cuerpo.

Demostración.

Sea un área A, la cual rota con respecto al eje x, y considérese un elemento (dA) de dicha área. El volumen (dV) generado por el elmento dA es igual a:

 dV = 2πydA 

donde y es la distancia del elemento dA al eje x. Por tanto, el volumen total generado por A es:

 V = ∫ 2πy dA = 2πȳA 

donde 2πȳ es la distancia recorrida por el centroide de A.

Nota: Es importante señalar que el teorema no puede aplicarse si el eje de rotación interseca al área generatriz. 

En caso de que se desee calcular el volumen del sólido de revolución alrededor de una recta que no tenga intersección con el área, de la forma y=ax + b aún se puede emplear este teorema a condición de que se calcule la distancia entre el centroide y dicha recta.

SOLIDOS DE REVOLUCION

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Los teoremas de Pappus-Guldinus relacionan la determinación del área de una superficie de revolución o el volumen de un cuerpo de revolución con la determinación del centroide de la curva generatriz o del área generatriz.

Fuentes:
https://fermionflavour.files.wordpress.com/2014/06/teoremas-de-pappus-guldin.pdf
http://estatica1372564.weebly.com/5-fuerzas-distribuidas-centroides-y-centros-de-gravedad/teorema-de-pappus-guldinus

TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS

Existen dos teoremas de Pappus-Guldinus que nos ayudan a hallar el centroide de un sólido de revolución, comenzaremos por el primer teorema. El mismo trata sobre el área y volúmen de una superficie de revolución.

• Área de una superficie de revolución: 

Es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie.


Para entender mejor la formula:
Comenzamos por dL, que es un trozo mínimo de longitud de la superficie, a ese trozo le damos una vuelta de longitud 2πr la cual podemos tomar como un anillo, la vuelta que dio esa longitud genero un área = dA.

dA=dL(2πr)

Esta formula es solo una parte del área de la superficie y necesitamos el área total de la superficie. Para esto tenemos que sumar todos los trozos de la superficie o anillos que tiene la superficie, lo cual viene siendo la integral

A=2π∫rdL 􀢘􀢊􀡸

Y por la ecuación del centroide esto se transforma, quedando:

∫rdL=rL􀡸

Llegando a la formula siguiente:

A=2πrL

De forma general para cualquier ángulo de rotación, expresado en radianes, el área de una superficie en revolución es:

A = θr L

Representación de las variables:
A= Superficie de revolución.
Θ= Ángulo de revolución.
r= Centroide de la curva generatriz.
L= Longitud de la curva generatriz.

• Volumen de una superficie de revolución:

Es igual al producto del área generatriz (A) por la distancia recorrida por el centroide del área (L=?r).

V=2π∫v rdA

Donde el centroide se representa como

∫v rdA=rA

Y sustituyendo obtenemos

V=2πrA

Entonces, la fórmula general viene dada por

V=θrA

Representación de las variables:
V= Volúmen de revolución.
Θ= Ángulo de revolución.
r= Centroide.
A= Área generatriz.

También podrás ayudarte:

Muchas gracias, hasta la próxima publicación.

Información:

• Documento en línea Tema II: Centro de gravedad y centroides. ULA.
• https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_centroide_de_Pappus

Buenas tardes.

Para comenzar con el contenido, primero debemos adentrarnos en los conceptos principales que nos darán las bases para comprender lo que es un Centroide de Un Sólido en Revolución.

CENTROIDE:

Es un concepto  geométrico que depende de  una figura u objeto; se trata de un punto fijo que se encuentra en el centro de una figura u objeto, al cual podemos hallar si se intersectan (cruzan entre sí) los hiperplanos que separan a la figura en partes con igualdad de volumen.

*Ejemplo:

En el caso de un triángulo podemos encontrar el centroide si hacemos la intersección entre cada uno de sus vértices y los puntos medios de el lado opuesto.

Para un informe más detallado en el siguiente enlace se muestra cómo encontrar el centro de un triángulo --->http://educacion.uncomo.com/articulo/como-calcular-el-centro-de-un-triangulo-1355.html

Aclarando el centroide, el centro de gravedad y el centro de masa en casos particulares pudiesen llegar a coincidir, aunque cada uno maneja conceptos diferentes.

*Centro de gravedad: Es la fuerza que actúa sobre un cuerpo en su propio peso. En todo cuerpo por irregular que sea, existe un punto en el cual  pudiese llegar a considerarse que todo su peso se haya concentrado en él. Éste punto es considerado el centro de gravedad. El centro de gravedad puede ser un punto exterior o interior del cuerpo que se considere. 

*Centro de masas: Es el punto en el que se concentra toda la masa de un cuerpo para su estudio. Es el centro de simetría de distribución de un sistema de partículas.

Por ejemplo: Cuando un cuerpo se encuentra en movimiento, como al lanzar un lápiz al aire, todas sus partículas se mueven a la vez, aunque con distintas trayectorias. Para caracterizar la traslación del lápiz en su conjunto, sin embargo, nos basta con estudiar qué ocurre en un solo punto del mismo: su centro de masas. Este será el que determine su velocidad, su trayectoria, entre otros.

En la siguiente imagen de un sistema solar, podríamos ejemplificar al centro de masas como el Sol, porque es el punto donde se concentra la masa de todo el sistema.

El conocimiento de la posición de los centros de gravedad y masas, es de suma importancia en la resolución de problemas, porque son los puntos de aplicación de los vectores representativos de los respectivos pesos.

Aquí les dejo un enlace de un vídeo donde se explica un poco el tema de manera práctica.

Espero que hayan comprendido los conceptos con lo que se estará trabajando continuamente en el manejo de éste tema. 

Gracias