TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS

Existen dos teoremas de Pappus-Guldinus que nos ayudan a hallar el centroide de un sólido de revolución, comenzaremos por el primer teorema. El mismo trata sobre el área y volúmen de una superficie de revolución.

• Área de una superficie de revolución: 

Es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie.


Para entender mejor la formula:
Comenzamos por dL, que es un trozo mínimo de longitud de la superficie, a ese trozo le damos una vuelta de longitud 2πr la cual podemos tomar como un anillo, la vuelta que dio esa longitud genero un área = dA.

dA=dL(2πr)

Esta formula es solo una parte del área de la superficie y necesitamos el área total de la superficie. Para esto tenemos que sumar todos los trozos de la superficie o anillos que tiene la superficie, lo cual viene siendo la integral

A=2π∫rdL 􀢘􀢊􀡸

Y por la ecuación del centroide esto se transforma, quedando:

∫rdL=rL􀡸

Llegando a la formula siguiente:

A=2πrL

De forma general para cualquier ángulo de rotación, expresado en radianes, el área de una superficie en revolución es:

A = θr L

Representación de las variables:
A= Superficie de revolución.
Θ= Ángulo de revolución.
r= Centroide de la curva generatriz.
L= Longitud de la curva generatriz.

• Volumen de una superficie de revolución:

Es igual al producto del área generatriz (A) por la distancia recorrida por el centroide del área (L=?r).

V=2π∫v rdA

Donde el centroide se representa como

∫v rdA=rA

Y sustituyendo obtenemos

V=2πrA

Entonces, la fórmula general viene dada por

V=θrA

Representación de las variables:
V= Volúmen de revolución.
Θ= Ángulo de revolución.
r= Centroide.
A= Área generatriz.

También podrás ayudarte:

Muchas gracias, hasta la próxima publicación.

Información:

• Documento en línea Tema II: Centro de gravedad y centroides. ULA.
• https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_centroide_de_Pappus